Persamaan Panjang Garis Singgung Lingkaran (Rumus dan Contoh Soal)
Persamaan panjang garis singgung lingkaran adalah persamaan yang menyatakan panjang garis singgung yang menyentuh lingkaran pada titik tertentu. Persamaan ini dapat dituliskan sebagai berikut:
L = 2r sin(θ/2)
dimana:
L adalah panjang garis singgung
r adalah jari-jari lingkaran
θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan pusat lingkaran
sin(θ/2) adalah sinus sudut yang dibagi dua
Contoh: Jika jari-jari lingkaran adalah 6 cm dan sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan pusat lingkaran adalah 60 derajat, maka panjang garis singgung adalah:
L = 2 x 6 x sin(60/2) = 12 x sin(30) = 12 x 0,5 = 6 cm
Jadi, panjang garis singgung yang menyentuh lingkaran tersebut adalah 6 cm.
1. Perasamaan Garis Singgung yang Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran
Garis singgung lingkaran melalui satu titik di luar lingkaran
Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa lingkaran bertitik pusat di O dengan jari-jari OA dan OA tegak lurus dengan garis PA. Garis PA tersebut merupakan garis singgung lingkaran melalui titip P di luar lingkaran. Dikarenakan setiap sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui titik pusat dan garis singgung besarnya adalah 90 derajat, maka segitiga PAO merupakan segitiga siku-siku PAO. Maka berlaku Theorema Phytagoras sebagai berikut (rumus).
Contoh Soal:
Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB = 3 cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 5 cm maka tentukan panjang garis singgung AB.
Jawab:
Jadi panjang garis singgung AB pada gambar diatas adalah 4 cm.
2. Persamaan Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Dari gambar gambar diatas dapat kita peroleh:
Perhatikan segi empat ABQS.Garis AB//SQ, AS//BQ, dan sudut PSQ = sudut PAB = 90o.
Jadi, segi empat ABNO merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BN = r.
Perhatikan bahwa segitiga MNO siku-siku di titik O. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran sebagai berikut.
Karena panjang ON = AB dan MO = R + r, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah.
Contoh Soal:
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 4 cm dan 3 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 25 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut!
Jawab:
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 24 cm.
3. Persamaan Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
gambar garis singgung persekutuan dua lingkaran
Dari gambar persamaan panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran diatas dapat kita peroleh:
Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan sudut PSQ = sudut PAB = 90o.
Segitiga MNO siku-siku di O, sehingga berlaku rumus sebagai berikut.
Karena panjang ON = AB dan MO = R - r, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (l) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah sebagai berikut.
Contoh Soal:
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 15 cm dan 5 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah 24 cm. Hitunglah jarak kedua titik pusat kedua lingkaran tersebut!
Jawab:
Jadi jarak kedua titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah 26 cm
Demikianlah artikel tentang Persamaan Panjang Garis Singgung Lingkaran (Rumus dan Contoh Soal), semoga bisa menjadi informasi yang bermanfaat untuk para pembaca setia blog pustaka ilmu. Jangan lupa untuk di share dan berkomentar. Terimakasih
L = 2r sin(θ/2)
dimana:
L adalah panjang garis singgung
r adalah jari-jari lingkaran
θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan pusat lingkaran
sin(θ/2) adalah sinus sudut yang dibagi dua
Contoh: Jika jari-jari lingkaran adalah 6 cm dan sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan pusat lingkaran adalah 60 derajat, maka panjang garis singgung adalah:
L = 2 x 6 x sin(60/2) = 12 x sin(30) = 12 x 0,5 = 6 cm
Jadi, panjang garis singgung yang menyentuh lingkaran tersebut adalah 6 cm.
1. Perasamaan Garis Singgung yang Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran
 |
| Perasamaan Garis Singgung yang Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran |
Dari gambar diatas dapat diketahui bahwa lingkaran bertitik pusat di O dengan jari-jari OA dan OA tegak lurus dengan garis PA. Garis PA tersebut merupakan garis singgung lingkaran melalui titip P di luar lingkaran. Dikarenakan setiap sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui titik pusat dan garis singgung besarnya adalah 90 derajat, maka segitiga PAO merupakan segitiga siku-siku PAO. Maka berlaku Theorema Phytagoras sebagai berikut (rumus).
Contoh Soal:
Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB = 3 cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 5 cm maka tentukan panjang garis singgung AB.
Jawab:
 |
| Jawab |
 |
| Jawab |
2. Persamaan Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
 |
| Persamaan Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran |
Dari gambar gambar diatas dapat kita peroleh:
- Jari-jari lingkaran yang berpusat di M = R;
- Jari-jari lingkaran yang berpusat di N = r;
- Panjang garis singgung persekutuan dalam = AB = d;
- Jarak titik pusat kedua lingkaran = MN = p.
- Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BN maka akan diperoleh garis ON.
- Garis ON sejajar garis AB, sehingga sudut MON = sudut MAB = 90 derajat (sehadap).
Perhatikan segi empat ABQS.Garis AB//SQ, AS//BQ, dan sudut PSQ = sudut PAB = 90o.
Jadi, segi empat ABNO merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BN = r.
Perhatikan bahwa segitiga MNO siku-siku di titik O. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran sebagai berikut.
 |
| segitiga MNO siku-siku di titik O |
Karena panjang ON = AB dan MO = R + r, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah.
 |
| panjang ON = AB dan MO = R + r |
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 4 cm dan 3 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 25 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut!
Jawab:
 |
| Jawab |
3. Persamaan Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
 |
| Persamaan Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran |
Dari gambar persamaan panjang garis singgung persekutuan dua lingkaran diatas dapat kita peroleh:
- jari-jari lingkaran yang berpusat di M = R;
- jari-jari lingkaran yang berpusat di N = r;
- panjang garis singgung persekutuan luar adalah AB = l;
- jarak titik pusat kedua lingkaran adalah MN = p.
- Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BN maka diperoleh garis ON.
- Garis AB sejajar ON, sehingga sudut MON = sudut MAB = 90o (sehadap).
Perhatikan segi empat ABQS. Garis AB//SQ, AS//BQ, dan sudut PSQ = sudut PAB = 90o.
Segitiga MNO siku-siku di O, sehingga berlaku rumus sebagai berikut.
 |
| Segitiga MNO siku-siku di O |
 |
| Karena panjang ON = AB dan MO = R - r |
Panjang jari-jari dua lingkaran masing-masing adalah 15 cm dan 5 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah 24 cm. Hitunglah jarak kedua titik pusat kedua lingkaran tersebut!
Jawab:
 |
| Jawab |
Demikianlah artikel tentang Persamaan Panjang Garis Singgung Lingkaran (Rumus dan Contoh Soal), semoga bisa menjadi informasi yang bermanfaat untuk para pembaca setia blog pustaka ilmu. Jangan lupa untuk di share dan berkomentar. Terimakasih
){kind=link}
Post a Comment for "Persamaan Panjang Garis Singgung Lingkaran (Rumus dan Contoh Soal)"
Post a Comment